اتحادها
مربع دوجملهای:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$مزدوج:
$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$مکعب مجموع دو جمله:
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$مکعب تفاضل دو جمله:
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$جمله مشترک:
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$مجموع مکعبات:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$تفاضل مکعبات:
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$مربع سهجملهای:
روابط تکمیلی اتحادها:
مثلثات
روابط اولیه:
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$ $$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$ $$ \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 $$ $$ 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$ $$ 1 + \cot^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta} $$ $$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $$ $$ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $$ $$ \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 $$ $$ \csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1 $$نسبتهای مثلثاتی مجموع و تفاضل:
$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $$ $$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $$ $$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \pm \tan \alpha \tan \beta} $$ $$ \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta} $$مشتق و انتگرال توابع معروف:
۱. تابع ثابت $$ f(x) = c $$ $$ f'(x) = 0 $$ $$ \int c dx = cx + C $$
نمودار این تابع یک خط افقی است. شیب خط و در نتیجه مشتق آن در همه جا صفر است.
۲. تابع همانی (خطی) $$ f(x) = x $$ $$ f'(x) = 1 $$ $$ \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C $$
نمودار این تابع خطی با شیب ۱ است، بنابراین مشتق آن همیشه ۱ است.
۳. قانون توان (حالت کلی) $$ f(x) = x^n $$ $$ f'(x) = nx^{n-1} $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$
این قانون اساسی برای مشتقگیری و انتگرالگیری از توابع چندجملهای است.
۴. تابع معکوس (حالت خاص قانون توان) $$ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} $$ $$ f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C $$
این تنها حالت از قانون توان است که نتیجه انتگرال آن یک تابع لگاریتمی میشود.
۵. تابع ریشه دوم $$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $$ $$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$
این تابع حالت خاصی از قانون توان است.
۶. تابع نمایی (پایه نپر) $$ f(x) = e^x $$ $$ f'(x) = e^x $$ $$ \int e^x dx = e^x + C $$
این تابع منحصر به فرد است زیرا مشتق و انتگرال آن با خودش برابر است.
۷. تابع نمایی (پایه عمومی) $$ f(x) = a^x $$ $$ f'(x) = a^x \ln(a) $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C $$
برای محاسبه مشتق و انتگرال این تابع، از لگاریتم طبیعی پایه a استفاده میشود.
۸. تابع لگاریتم طبیعی $$ f(x) = \ln|x| $$ $$ f'(x) = \frac{1}{x} $$ $$ \int \ln|x| dx = x\ln|x| - x + C $$
این تابع معکوس تابع نمایی است و مشتق آن معکوس متغیر مستقل است.
۹. تابع لگاریتم (پایه عمومی) $$ f(x) = \log_a|x| $$ $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} $$ $$ \int \log_a|x| dx = \frac{x \ln|x| - x}{\ln(a)} + C $$
برای تبدیل به لگاریتم طبیعی از فرمول تغییر پایه استفاده میشود.
۱۰. تابع سینوس $$ f(x) = \sin(x) $$ $$ f'(x) = \cos(x) $$ $$ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C $$
این تابع نوسانهای تناوبی را مدل میکند. مشتق آن به کسینوس تبدیل میشود.
۱۱. تابع کسینوس $$ f(x) = \cos(x) $$ $$ f'(x) = -\sin(x) $$ $$ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C $$
این تابع نیز برای مدلسازی پدیدههای تناوبی استفاده میشود. علامت مشتق آن منفی است.
۱۲. تابع تانژانت $$ f(x) = \tan(x) $$ $$ f'(x) = \sec^2(x) $$
این تابع به صورت نسبت سینوس به کسینوس تعریف میشود.
۱۳. تابع کسکانت $$ f(x) = \csc(x) $$ $$ f'(x) = -\csc(x)\cot(x) $$
این تابع معکوس سینوس است و در مشتقگیری از قاعده زنجیرهای استفاده میشود.
۱۴. تابع سکانت $$ f(x) = \sec(x) $$ $$ f'(x) = \sec(x)\tan(x) $$
این تابع معکوس کسینوس است و در حل بسیاری از مسائل انتگرال کاربرد دارد.
۱۵. تابع کتانژانت $$ f(x) = \cot(x) $$ $$ f'(x) = -\csc^2(x) $$ $$ \int \cot(x) dx = \ln|\sin(x)| + C $$
این تابع به صورت نسبت کسینوس به سینوس تعریف میشود.
۱۶. تابع آرکسینوس (سینوس معکوس) $$ f(x) = \arcsin(x) $$ $$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
این تابع زاویهای را برمیگرداند که سینوس آن برابر با x است.
۱۷. تابع آرککسینوس (کسینوس معکوس) $$ f(x) = \arccos(x) $$ $$ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
رابطه این تابع با آرکسینوس به صورت زیر است:
$$\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)$$
۱۸. تابع آرکتانژانت (تانژانت معکوس) $$ f(x) = \arctan(x) $$ $$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} $$
این تابع در محاسبه زاویه بر اساس نسبت ضلعهای یک مثلث قائمالزاویه کاربرد دارد.
۱۹. تابع آرکسکانت (سکانت معکوس) $$ f(x) = \operatorname{arcsec}(x) $$ $$ f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$
دامنه این تابع در زیر آمده است و در حل انتگرالهای خاص کاربرد دارد:
$$|x| \geq 1$$
۲۰. تابع سینوس هیپربولیک $$ f(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $$ $$ f'(x) = \cosh(x) $$ $$ \int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C $$
این توابع بر خلاف توابع مثلثاتی، بر اساس توابع نمایی تعریف میشوند و در فیزیک کاربرد زیادی دارند.
۲۱. تابع کسینوس هیپربولیک $$ f(x) = \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$ $$ f'(x) = \sinh(x) $$ $$ \int \cosh(x) dx = \sinh(x) + C $$
نمودار این تابع به شکل زنجیر آویزان (کاتناری) است.
۲۲. تابع تانژانت هیپربولیک
این تابع در مدلسازی پدیدههای اشباع و انتقال حرارت استفاده میشود.
۲۳. تابع آرسینوس هیپربولیک (معکوس سینوس هیپربولیک) $$ f(x) = \operatorname{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) $$ $$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $$
این تابع معکوس تابع sinh(x) است و در حل انتگرالهای خاص کاربرد دارد.
۲۴. تابع آرتانژانت هیپربولیک (معکوس تانژانت هیپربولیک)
دامنه این تابع (1, 1-) است و در محاسبات آماری کاربرد دارد.
۲۵. تابع قدر مطلق $$ f(x) = |x| $$ $$ f'(x) = \frac{x}{|x|} = \operatorname{sign}(x) \quad (x \neq 0) $$ $$ \int |x| dx = \frac{1}{2}x|x| + C $$
این تابع در x = 0 مشتقپذیر نیست ولی در همه جا انتگرالپذیر است.
۲۶. تابع سیگموئید (لجستیک) $$ S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{1 + e^x} $$ $$ S'(x) = S(x)(1 - S(x)) $$ $$ \int S(x) dx = \ln(1 + e^{x}) + C $$
این تابع در شبکههای عصبی مصنوعی و مدلسازی رشد جمعیت کاربرد اساسی دارد.
۲۷. تابع گاوسی (زنگولهای) $$ f(x) = e^{-ax^2} $$ $$ f'(x) = -2axe^{-ax^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$
این تابع در آمار (توزیع نرمال) و مکانیک کوانتومی اهمیت بنیادی دارد.
۲۸. الگوی انتگرالگیری با تشخیص (برای روش تغییر متغیر) $$ f(x) = [g(x)]^n \cdot g'(x) $$ (با استفاده از قاعده ضرب و زنجیره)
این الگو اساس روش انتگرالگیری با تغییر متغیر (جانشینی) است.
۲۹. الگوی انتگرالگیری برای توابع لگاریتمی $$ f(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} $$ (با استفاده از قاعده خارج قسمت یا زنجیره) $$ \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \ln|g(x)| + C $$
این الگو برای انتگرالگیری از توابع کسری که صورت مشتق مخرج است، کاربرد دارد.