مصر باستان
عددی را پیدا کنید که اگر 2 ⁄ 3
نمایش پاسخ مسئله
$$(x + \frac{۲}{۳}x) – \frac{۱}{۳}(x+\frac{۲}{۳}x) = ۱۰$$
$$x + \frac{۲}{۳}x - \frac{۱}{۳}x - \frac{۲}{۹}x = ۱۰$$
$$x + \frac{۱}{۳}x - \frac{۲}{۹}x = ۱۰$$
$$\frac{۹x + ۳x -۲x}{۹} = ۱۰$$
$$\frac{۱۰x}{۹} = ۱۰$$
$$x = ۹$$
مصریان باستان به جای مساحت دایره، مساحت مربعی را در نظر میگرفتند که ضلع آن برابر 8 ⁄ 9
نمایش پاسخ مسئله
r = شعاع دایره s = مساحت مربع c = مساحت دایره
اگر مساحت و نسبت ضلعهای یک مستطیل معلوم باشد، طول هر ضلع آن را پیدا کنید.
نمایش پاسخ مسئله
طول ضلعهای مجهول را x و y میگیریم. حل مسئله از طریق حل دستگاه زیر انجام میشود:
$$\frac{x}{y} = \frac{m}{n}, x.y = s$$
اگر دو معادله را در هم ضرب کنیم، به دست میآید:
$$x^۲ = \frac{m}{n}s ⇒ x = \sqrt{\frac{m}{n}s}$$
و از آنجا:
$$y = \frac{n}{m}\sqrt{\frac{m}{n}s} ⇒ y = \sqrt{\frac{n}{m}s}$$
کسی یک سیزدهم خزانه را برداشت دیگری یک هفدهم آنچه را که باقی مانده بود برداشت. در خزانه 150 باقی ماند. در ابتدا، در خزانه چه قدر بوده است؟
نمایش پاسخ مسئله
$$\frac{۱}{۱۳}x + \frac{۱}{۱۷}(\frac{۱۲}{۱۳}x) + ۱۵۰ = x$$
$$\frac{۱۷x + ۱۲x}{۲۲۱} = x-۱۵۰$$
$$۲۹x = ۲۲۱x - ۳۳۱۵۰$$
$$۱۹۲x = ۳۳۱۵۰$$
$$x = ۱۷۲.۶۵۶۲۵ = ۱۷۲ \frac{۲۱}{۳۲}$$
یونان باستان
از فیثاغورث
همهی اعداد فیثاغورثی را پیدا کنید، یعنی همهی سهتاییهای درست و مثبت x و y و z که در رابطهی x2 + y2 = z2 صدق میکنند.نمایش پاسخ مسئله
برای محاسبه سهتاییهای فیثاغورثی به صورت ذهنی، میتوانید از روش زیر استفاده کنید:
x = 2mn
3. تفاوت مربعات (m) و (n) را محاسبه کنید که این عدد (y) خواهد بود:
y = m
2 - n
2
4. مجموع مربعات (m) و (n) را محاسبه کنید که این عدد (z) خواهد بود:
z = m
2 + n
2
5. حالا شما یک سهتایی فیثاغورثی دارید که (x)، (y) و (z) اضلاع یک مثلث قائمالزاویه را تشکیل میدهند و رابطه (x2 + y2 = z2 ) برقرار است.
• ( x = 2 × 2 × 1 = 4 )
• ( y = 2
2 - 1
2 = 4 - 1 = 3 )
• ( z = 2
2 + 1
2 = 4 + 1 = 5 )
پس، یک سهتایی فیثاغورثی ( (5, 3, 4) ) خواهیم داشت.
x
y
z
4
3
5
6
8
10
12
5
13
8
15
17
16
12
20
24
7
25
10
24
26
20
21
29
30
16
34
40
9
41
12
35
37
24
32
40
36
27
45
48
20
52
60
11
61
14
48
50
28
45
53
42
40
58
56
33
65
70
24
74
84
13
85
16
63
65
32
60
68
48
55
73
64
48
80
80
39
89
96
28
100
112
15
113
18
80
82
36
77
85
54
72
90
72
65
97
90
56
106
108
45
117
126
32
130
144
17
145
20
99
101
40
96
104
60
91
109
80
84
116
100
75
125
120
64
136
140
51
149
160
36
164
180
19
181
...
...
...
از فیثاغورث
مجموع جملههای هر رشتهای از عددهای فرد متوالی، که از 1 آغاز شده باشد، مجذور کامل است. نمایش پاسخ مسئله
$$S_n = ۱ + ۳ + ۵ + ... + (۲n-۱)$$
$$S_n = \sum_{k=۱}^n (۲k-۱)$$
$$S_n = ۲\sum_{k=۱}^n (k) - \sum_{k=۱}^n (۱)$$
$$S_n = ۲\frac{n(n+۱)}{۲} - n$$
$$S_n = n^۲ + n - n$$
$$S_n = n^۲$$
از فیثاغورث
هر عدد فرد بهجز یک، تفاضلی از دو مجذور کامل است. نمایش پاسخ مسئله
$$k = (n+۱)^۲ - (n)^۲$$
$$k = n^۲ + ۲n + ۱ - n^۲$$
$$k = ۲n+۱$$
از ارشمیدس
مطلوب است مجموع بینهایت جمله از تصاعد هندسی نزولی زیرنمایش پاسخ مسئله
روش عادی:
$$S_n = ۱ + \frac{۱}{۴^۱} + \frac{۱}{۴^۲} + \frac{۱}{۴^۳} + ... + \frac{۱}{۴^{n-۱}}$$
روش ارشمیدس:
مفروضات مسئله
$$a=۱, b=\frac{۱}{۴}, c=\frac{۱}{۴^۲}, d=\frac{۱}{۴^۳},...$$
$$a=۴b, b=۴c, c=۴d,...$$
$$a + b + c + d + ... = ۱ + \frac{۱}{۴^۱} + \frac{۱}{۴^۲} + \frac{۱}{۴^۳} + ...$$
ترفند حل مسئله
$$b+c+d+...+\frac{۱}{۳}(b+c+d+...) $$
$$=(b+\frac{b}{۳}) + (c+\frac{c}{۳}) + (d +\frac{d}{۳}) + ...$$
$$=\frac{۴}{۳}b + \frac{۴}{۳}c + \frac{۴}{۳}d + ...$$
$$=\frac{۱}{۳}(۴b+۴c+۴d+...)$$
$$=\frac{۱}{۳}(a+b+c+d+...)$$
$$⇒ b+c+d+... = \frac{۱}{۳}a$$
$$⇒ a+b+c+d+... = a+\frac{۱}{۳}a$$
$$⇒ a+b+c+d+... = \frac{۴}{۳}a$$
$$⇒۱ + \frac{۱}{۴^۱} + \frac{۱}{۴^۲} + \frac{۱}{۴^۳} + ... = \frac{۴}{۳}$$
از ارشمیدس
مجموع مجذورهای n عدد طبیعی نخستین برابر با چه مقداری است؟نمایش پاسخ مسئله
$$\sum_{k=۱}^{n} k^۲ = ۱^۲ + ۲^۲ + ۳^۲ + ... + n^۲ = \frac {n(n+۱)(۲n+۱)}{۶}$$
اثبات از روش استقرای ریاضی:
نشان میدهیم برای مقدار k=1 معادلهی فوق برقرار است. فرض میکنیم برای k=n معادلهی فوق برقرار است و سپس نشان میدهیم اگر فرضمان صحیح باشد برای k=n+1 نیز معادله برقرار است به این طریق که با جایگذاری مقدار n+1 از یک طرف معادله شروع به محاسبه میکنیم و طرف دیگر را به دست میآوریم.
$$k=۱ ⇒ ۱^۲ = \frac{۱(۱+۱)(۲+۱)}{۶} ⇒ ۱^۲ = ۱$$
$$k=n ⇒ ۱^۲ + ۲^۲ + ۳^۲ + ... + n^۲ = \frac {n(n+۱)(۲n+۱)}{۶}$$
$$k=n+۱ ⇒ ۱^۲ + ۲^۲ + ۳^۲ + ... + n^۲ + (n+۱)^۲ = \frac {(n+۱)(n+۲)(۲n+۳)}{۶}$$
$$طرف ~ اول = \frac {n(n+۱)(۲n+۱)}{۶} + (n^۲ + ۲n + ۱)$$
$$= \frac{۲n^۳ + ۹n^۲ + ۱۳n + ۶}{۶} = \frac{(۲n+۳)(n^۲ + ۳n + ۲)}{۶}$$
$$= \frac{(n+۱)(n+۲)(۲n+۳)}{۶} = طرف ~ دوم $$
از دیوفانت (در رسالهی «حساب»)
سه عدد را به گونهای بیابید که عدد بزرگتر به اندازهی یک سوم عدد کوچکتر از عدد وسط بیشتر باشد؛ همچنین، عدد وسط به اندازهی یک سوم عدد بزرگتر از عدد کوچکتر بیشتر باشد؛ و سرانجام، عدد کوچکتر به اندازهی 10 واحد از یک سوم عدد وسط بیشتر باشد.نمایش پاسخ مسئله
$$① ~~ z = y + \frac{۱}{۳}x$$
$$② ~~ y = x + \frac{۱}{۳}z$$
$$③ ~~ x = \frac{۱}{۳}y + ۱۰$$
$$①③ ⇒ z = y + \frac{۱}{۳}(\frac{۱}{۳}y + ۱۰) ⇒ z = \frac{۱۰}{۹}y + \frac{۱۰}{۳} ~~ ④$$
$$②③ ⇒ y = (\frac{۱}{۳}y + ۱۰) + \frac{۱}{۳}z ⇒ z = ۲y - ۳۰ ~~ ⑤$$
$$④⑤ ⇒ \frac{۱۰}{۹}y + \frac{۱۰}{۳} = ۲y - ۳۰ ⇒ \color{blue}{y = ۳۷\frac{۱}{۲}} ~~ ⑥$$
$$③⑥ ⇒ \color{blue}{x = ۲۲\frac{۱}{۲}} ~~ ⑦$$
$$①⑥⑦ ⇒ \color{blue}{z = ۴۵}$$
